Розробка арифметико-алгоритмічних основ безпомилкового обчислення на базі розрядно-логарифмічного кодування даних

Abstract

Задача створення комп'ютерних технологій високоточних обчислень є актуальною на сьогоднішній час. Такі задачі, як розрахунки складних виробів в проектно-конструкторських роботах, зокрема, в ракетно-авіаційній техніці, задачі високоточної фізики та хімії, розрахунки на мікро-та макромолекулярному рівнях, радіоастрономії, задачі діагностики мають широкий діапазон вхідних, проміжних та вихідних даних і точність представлення даних та їх подальших перетворень є критичним параметром для цього типу задач. Тому що навіть невеликі, порівняно з іншими задачами, похибки реалізації їх алгоритмів можуть зробити результати розрахунків неприйнятними. Взагалі причиною виникнення похибок рішення задач є те, що ЕОМ, яка реалізує алго- ритм задачі, є кінцевою машиною: вона в змозі представити, власно кажучи, тільки кінцеву множину чисел. Таким чином, будь-яка спроба використати ЕОМ для виконання арифметичних операцій в полі дійсних чисел приречена на невдачу, оскільки дійсні числа – це безкінечна множина, більшість елементів якої неможливо представити в обчислювальній машині. Проте це не означає, що неможливо спробувати апроксимувати на комп’ютері арифме- тику в полі дійсних чисел. В більшості сучасних ЕОМ для такої апроксимації використовується позиційна двійкова система обчислення. Для такого способу представлення чисел є характер- ними наочність, відносна простота виконання арифметичних операцій, наявність простого пра- вила округлення. Елементний базис та операційні засоби більшості сучасних ЕОМ типу ПК розроблені саме для такої системи. Найпоширенішими є два формати представлення даних: з фіксованою комою та з плава- ючою комою. На сьогоднішній день, як правило, в ЕОМ, що призначаються для рішення широ- кого кола задач, основним є представлення чисел з плаваючою комою, однак поряд з цією фор- мою використовується також і зображення з фіксованою комою для цілих чисел, оскільки опе- рації з такими числами виконуються за менший час. Може здатися, що ефект неточного виконання арифметичних операцій (та помилок окру- глення) не є дуже серйозним. Однак відомо, що обчислене рішення може бути інтерпретоване як точне рішення слабо збуреної задачі. Окрім того існує клас задач, що називаються погано обумовленими, для яких рішення (точне) є найбільш чутливим до малих збурень даних. При рішенні таких задач ефект помилок округлення може бути катастрофічним. Крім того, навіть якщо задача не є погано обумовленою, але вимоги до малого значення величини похибки дуже високі, то поширення помилок округлень може зробити результат обчислень неприйнятним. Одним із шляхів подолання такого протиріччя між можливостями математичного апара- ту та операційною середою ЕОМ є застосування непозиційних систем. Прикладом такої число- вої системи є система віднімань, в якій арифметичні операції виконуються точно. Недоліком цієї технології є неефективність та складність її реалізації на сучасних ПК, тому що елементний базис та операційна середа останніх не відповідають положенням представлення даних та ари- фметичних операцій над ними. Незважаючи на принципові відмінності між непозиційним та позиційним представлен- ням доведена можливість об'єднання цих систем в таку, якій властиві позитивні властивості складових. Розрядно-логарифмічне зображення, засноване на кодуванні ненульових розрядів двійкового (позиційного) операнду, також є доказом можливості кодування з властивостями, що характерні як для позиційних, так і для непозиційних систем. Якщо об’єднати інформатив- ність розряду (ненульове значення) і його позиційне розташування способом розрядного коду- вання, то можливо змінити традиційну фізичну реалізацію позиції розряду в позиційному коді, що застосовується в сучасних ЕОМ, та покращити рішення вказаного протиріччя між можливо- стями математичного апарату та операційною середою ЕОМ. Важливою властивістю технології розрядно-логарифмічних обчислень є те, що її можли- во застосувати до класу ЕОМ типу ПК, в яких вказана технологія реалізується через набір під- програм – моделей арифметичних операцій. Тобто РЛ технологія не пред’являє додаткових ви- мог до елементного базису та операційних засобів ПК. Таким чином, застосовуючи розрядно-логарифмічне кодування, при якому можна значно розширити діапазон зміни даних, можливо відповідними операційними засобами ПК невеликої розрядності виконати обробку достатньо великих розрядних полів, що при традиційному підхо- ді неможливо. Розширення діапазону зміни даних є основою для підвищення точності обчис- лень в засобах обчислювальної техніки. На відміну від традиційного зображення чисел РЛ коди дозволяють скоротити фактор округлення, так як поряд з найбільш значущими розрядами числа можна зберігати найменш значущі розряди, що зазвичай відкидались. Треба зазначити, що точ- ність представлення даних та виконання арифметичних операцій над ними при реалізації РЛ тех- нології у вигляді набору підпрограм може бути легко змінена програмістом чи користувачем ПК в залежності від вимог задачі, причому, ця точність обмежується лише ресурсами пам'яті та часу. Підпрограми, що реалізують перевід числа з двійкової позиційної системи обчислення в РЛ зображення і зворотньо та програми, що реалізують основні арифметичні операції над РЛ числами, можуть бути написані на будь-якій мові програмування високого рівня, на якій представляється алгоритм рішення задачі. Подальше використання цих підпрограм не буде вимагати від програмістів спеціальних знань в області РЛ технології. Таким чином, РЛ зображення даних може бути основою комп’ютерної технології високоточних обчислень для класу ЕОМ типу ПК. Розвиток цієї технології є перспективним та має практичну цінність.